Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．

证明如下：

设0＜x1＜x2，则 ＞1，

∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增

（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，

∴ ，解得：2＜x≤4，

∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}

【解析】（1）设0＜x1＜x2 ＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．