Question

【题目】在数列{an}中，a1= ，且 =nan（n∈N+）．
（1）写出此数列的前4项；
（2）归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1= ，a2= ，a3= ，a4=
（2）解：猜想：an= ．

证明：①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k时猜想成立，即ak= ．

∵ =nan，∴ =（2n﹣1）an．

∴ ，

∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1，

又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak= ，

∴ak+1= = ，

∴当n=k+1时，猜想成立．

由①②可知，对一切n∈N+，都有an=

【解析】（1）根据递推式，依次令n=2，3，4计算a2 ， a3 ， a4；（2）根据前4相猜想通项公式，验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，根据条件推导ak+1得出结论．
【考点精析】关于本题考查的归纳推理和数学归纳法的定义，需要了解根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．