Question

【题目】已知函数 ．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

∵ = ，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的

（2）证明：∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，

∴f（x）在 上单调递增，

∴ ，

∴

【解析】（1）利用函数单调性的定义，设x2＞x1＞0，再将f（x1）﹣f（x2）作差后化积，证明即可；（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[ ，2]上单调递增，由f（2）=2可求得a的值．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数单调性的性质是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．