Question

【题目】已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函数有意义：则有 ，解之得：﹣3＜x＜1，

则函数的定义域为：（﹣3，1）

（2）解：函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）

由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，

即x2+2x﹣2=0，

∵ ，∴函数f（x）的零点是

（3）解：函数可化为：

f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]

∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，

∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，

即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，

∴

【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值．