Question

【题目】（分）已知椭圆的左焦点为，过的直线与交于、两点．

（）求椭圆的离心率．

（）当直线与轴垂直时，求线段的长．

（）设线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆交于、两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 存在直线，使得．

【解析】

试题分析：（1）将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，进而得到离心率；（2）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，代入椭圆方程，求得纵坐标，进而得到弦长；（3）设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，运用韦达定理，以及中点坐标公式可得P的坐标，再由向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而判断存在这样是直线l．

解析：

（）椭圆，

即为，可得，，，

故椭圆的离心率．

（）当直线与轴垂直时，即为，代入椭圆方程可得，，

故线段的长为．

（）由，设直线，代入椭圆方程得，

设，，则，

即有中点的坐标为，

直线，代入椭圆方程可得：，

可设，，

假设存在直线使得，

即有，

则，解得，

故存在直线，使得．