Question

【题目】已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|，若x0∈R，不等式f（x0）≥0成立，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x+2y﹣m=6，是否存在x，y，使得x2+y2=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|≥0有解，即 m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，

故 m大于或等于|2x+1|+|2x﹣3|的最小值．

由于|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴m≥4

（2）解：若x+2y﹣m=6，设存在x，y，使得x2+y2=19成立，则圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，

即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径 ，

即 ≤ ，故当﹣6﹣ ≤m≤﹣6+ 时，圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点．

由 ，求得 ，或

【解析】（1）由题意可得m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，利用绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，可得m的范围．（2）要使存在x，y，只要圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径 ，由此求得m的范围．再解圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6组成的方程组，求得直线和圆交点的坐标，即为所求的x、y的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．