Question

【题目】设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．
（1）求常数b的值；
（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：对f（x）求导得：

f'（x）=﹣aln（x+1）+

根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，

故b=1

（2）解：当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）

f'（x）=﹣ln（x+1）+ ﹣1=﹣ln（x+1）+ ﹣2

令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；

当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；

当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减

（3）解：由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1

f'（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣1

f'（x）=﹣

①当a 时，因为0≤x≤1，有f'（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；

②当a≥0时，因为0≤x≤1，有f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0而且仅有f（0）=0；

③当﹣ ＜a＜0时，令m=min{1，﹣ }，当0≤x≤m时，f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0

因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；

综上：所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）对f（x）求导，根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；
当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）因为f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f（x）≥0；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．