Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2 + |=|2 ﹣ |，求直线在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为： =1（a＞b＞0），半焦距为c．

依题意e= = ，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，得a+c=3，解得c=1，a=2，

∴b2=a2﹣c2=3，

∴椭圆C的标准方程是 =1

（2）解：设直线l的方程为y=kx+m，联立 ，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵|2 + |=|2 ﹣ |，∴ =0．

∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为km（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0，

∴km（﹣ ）+（1+k2）× +m2=0，

化简得7m2=12+12k2．

将k2= ﹣1代入3+4k2＞m2．

可得m2 ，又由7m2=12+12k2≥12．

从而∴m2 ，解得m≥ ，或m≤﹣ ，．

所以实数m的取值范围是 ∪

【解析】（1）设椭圆C的方程为： =1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e= = ，a+c=3，b2=a2﹣c2 ， 解出即可得出．（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．由|2 + |=|2 ﹣ |，可得 =0．x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，把根与系数的关系代入化简与△＞0联立解出即可得出．