Question

【题目】已知函数，将的图象向右平移两个单位长度，得到函数的图象．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围；

（3）若函数与的图象关于直线对称，设，已知对任意的恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【试题分析】（1）借助平移的知识可直接求得函数解析式；（2）先换元将问题进行等价转化为有且只有一个根，再构造二次函数运用函数方程思想建立不等式组分析求解；（3）先依据题设条件求出函数的解析式，再运用不等式恒成立求出函数的最小值：

解：（1）

（2）设,则，原方程可化为

于是只须在上有且仅有一个实根，

法1：设，对称轴t=,则 ① ， 或 ②

由①得 ，即，

由②得 无解, ，则。

法2：由 ，得，，，

设，则，，记，

则在上是单调函数，因为故要使题设成立，

只须，即，

从而有

（3）设的图像上一点，点关于的对称点为，

由点在的图像上，所以，

于是 即..

由，化简得，设,即恒成立.

解法1：设，对称轴

则③ 或 ④

由③得， 由④得或，即或

综上，.

解法2：注意到，分离参数得对任意恒成立

设，，即

可证在上单调递增