Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣lnx．

（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调递减区间：

（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】(1) x﹣y=0．（2） (3) a=e2

【解析】试题分析：（1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．

（3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值．

解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx

∴f′（x）=2x﹣．

∴f'（1）=1．

又∵f（1）=1，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．

（2）因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），

由f′（x）=2x﹣＜0，得0＜x＜．

所以函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（0，）．

（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，

①当≥e时，即0＜a≤时，g′（x）=≤0在（0，e]上恒成立，

则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=（舍去），

②当0＜＜e时，即a＞时，列表如下：

由表知，g（x）min=g（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．

综上，所求实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．