Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣m（x+1）ln（x+1）（m＞0）的最大值是0，函数g（x）=x﹣a（x2+2x）（a∈R）． （Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若当x≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， f′（x）=1﹣m[ln（x+1）+1]
因为m＞0，所以f′（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．
令f′（x）=0，得
当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以，当 时， =
于是， ，得
易知，函数y=ex﹣1﹣x在x=1处有唯一零点，所以 ，m=1．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x2+2x）﹣（x+1）ln（x+1），x≥0
则F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
设h（x）=F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
则
①当a≤0时，h′（x）＜0，F′（x）在[0，+∞）上单调递减，
则x∈[0，+∞）时，F′（x）≤F′（0）=2a﹣1＜0，F（x）在[0，+∞）上单调递减，
故当x∈[0，+∞）时，F（x）≤F（0）=0，与已知矛盾．
②当 时， ，
当 时，h′（x）＜0，F′（x）在 上单调递减，
则 时，F′（x）＜F′（0）=2a﹣1＜0
故F（x）在 上单调递减，
则当 时，F（x）＜F（0）=0，与已知矛盾．
③当 时，h′（x）＞0，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，
则x∈[0，+∞）时，F′（x）≥F′（0）=2a﹣1＞0
所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，
故当x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（0）=0恒成立．
综上，实数a的取值范围是 ．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到关于m的方程，求出m的值即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，结合函数恒成立问题，求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．