Question

【题目】（Ⅰ）已知函数f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x﹣3|﹣|2x|≤|（2x﹣3）﹣2x|=3， ∴3≤|a+2|+2a，
当a＜﹣2时，不等式为3≤﹣a﹣2+2a，解得a≥5（舍），
当a≥﹣2时，不等式为3≤a+2+2a，解得a≥ ，
综上，a的取值范围是[ ，+∞）．
（Ⅱ）∵2x+y+z=1，∴（x+2y+z）+（z+3x）=4x+2y+2z=2，
∴ = （ ）[（x+2y+z）+（z+3x）]
≥ ×（1+ ）2=2+ ．
【解析】（I）利用绝对值不等式的性质得出f（x）的最大值，得出关于a的不等式，再讨论a+2的符合解不等式即可；（II）利用柯西不等式即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．