Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导得f′（x）= ，x＞0．

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；

若a＞0，当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

（2）解：由（1）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，

又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．

若a＞2，当x∈（ ，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．

若0＜a＜2，当x∈（1， ）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．

若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

f（x）≤f（1）=0，合题意．

故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．

当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln ﹣2（x2﹣x1）

＜2（ ﹣1）﹣2（x2﹣x1）

=2（ ﹣1）（x2﹣x1），

∴ ＜2（ ﹣1）

【解析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（2）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)，还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键．