Question

【题目】如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是 BC边上的高，AE 是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．

（1）求证：ACBC=ADAE；
（2）若AF=2，CF=2 ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，连接BE．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．

又∠E与∠ACB都是 所对的圆周角，

∴∠E=∠ACB．

∵AD⊥BC，∠ADC=90°．

∴△ABE∽△ADC，

∴AB：AD=AE：AC，

∴ABAC=ADAE．

又AB=BC，

∴BCAC=ADAE．

（2）解：∵CF是⊙O的切线，

∴CF2=AFBF，

∵AF=2，CF=2 ，

∴（2 ）2=2BF，解得BF=4．

∴AB=BF﹣AF=2．

∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，

∴△AFC∽△CFB，

∴AF：FC=AC：BC，

∴AC= = ．

∴cos∠ACD= ，

∴sin∠ACD= =sin∠AEB，

∴AE= ．

【解析】（1）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是 所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（2）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，即可得出答案．