Question

【题目】如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为 的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．、

（1）证明：PQ∥A1B1；
（2）当 时，求点C到平面APQB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，

∴AB∥PQ，

又∵AB∥A1B1，

∴PQ∥A1B1．

（2）解：建立如图所示的直角坐标系．

∴O（0，0，0），P（0，0， ），A（0，1，0），B（﹣ ，0，0），C（0，﹣1，0），

∴ =（0，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣1，0）， =（0，﹣2，0），

设平面APQB的法向量为 =（x，y，z），

则 ，可得 ，

取 = ，

∴点C到平面APQB的距离d= = = ．

【解析】（1）由平面ABC∥平面A1B1C1 ， 利用线面平行的性质定理可得：AB∥PQ，又AB∥A1B1 ， 即可证明PQ∥A1B1 ． （2）建立如图所示的直角坐标系．设平面APQB的法向量为 =（x，y，z），则 ，利用点C到平面APQB的距离d= 即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解棱柱的结构特征的相关知识，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．