Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC的中点，点E为BC边上的点，且 =λ．

（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；
（2）是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为 ？若存在，求出实数λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB中点N，连结MN，AN，

∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN= ，

又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，

∴四边形ADMN为平行四边形，

∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，

∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，

∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，

∵AN平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．

（2）解：存在实数λ=1，使得二面角P﹣DE﹣B的余弦值为 ．

∵λ=1，∴点E为BC边的中点，

∴DE∥AB，∴DE⊥平面PAD，

∴∠PDA为二面角P﹣DE﹣B的一个平面角，

在等腰Rt△PDA中，∠PDA= ，

∴二面角P﹣DE﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）取PB中点N，连结MN，AN，推导出四边形ADMN为平行四边形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥AN，AN⊥MN，由此能证明平面ADM⊥平面PBC．（2）λ=1时，点E为BC边的中点，∠PDA为二面角P﹣DE﹣B的一个平面角，由此推导出二面角P﹣DE﹣B的余弦值为 ．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．