Question

【题目】调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：

人员编号	1	2	3	4	5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人员编号	6	7	8	9	10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（1）在这10名被调查者中任取两人，求这两人的居住满意度指标z相同的概率；
（2）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m﹣n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，

则居住满意指标z为0的只有编号为9的一位，

居住满意指标z为1的有编号为2，4，5，7，10，共五位，

居住满意指标z为2的有编号为1，3，6，8，共四位，

从10被调查者中任取两人，基本事件总数n= =10，

这两人的居住满意度指标z相同的结果为 =16，

∴这两人的居住满意度指标z相同的概率p= ．

（2）解：计算10名被调查者的综合指标，可列下表：

人员编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
综合指标	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中居住满意度为一级的有编号为1，2，3，5，6，8共六位，则m的可能取值为4，5，6，

居住满意度不是一级的有编号为4，7，9，10共四位，则n的可能取值为1，2，3，

∴ξ=m﹣n的可能取值为1，2，3，4，5，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	p>3	4	5
P

Eξ= =

【解析】（1）记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，从10被调查者中任取两人，先求出基本事件总数，再求出这两人的居住满意度指标z相同的结果，由此能求出这两人的居住满意度指标z相同的概率．（2）由题意ξ=m﹣n的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．