Question

【题目】定义在（0，+∞）的函数f（x）满足如下三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；

②f（2）=0；

③x＞1时，总有f（x）＜1．

（1）求f（1）及的值；

（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；

（3）如果存在正数k，使关于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1有解，求正实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（1）=1；f（）=2；（2）详见解析；（3）[8，+∞）.

【解析】

（1）令a＝b＝1，a＝2，b，即可求得f（1）及的值；

（2）当x＞1时，f（x）＜1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；

（3）把f（kx）+f（2﹣x）根据条件转化为f[kx（2﹣x）]﹣1，根据函数的单调性把函数值转化为自变量x的方程，分离参数转化我求函数的值域即可得到所求范围．

解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1）-1，

即有f（1）=1；

令a=2，b=，可得f（1）=f（2）+f（）-1=f（）-1=1，

即有f（）=2；

（2）证明：设0＜x1＜x2，可得＞1，

可得f（）＜1，

由f（x2）=f（x1）=f（x1）+f（）-1＜f（x1），

可得函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；

（3）由f（4）=2f（2）-1=-1，

f（8）=f（2）+f（4）-1=-2，

可得关于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1即为f（kx（2-x））=-2=f（8），

函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

可得kx（2-x）=8在0＜x＜2有解，

即有k=，

由0＜x＜2可得x（2-x）∈（0，1]，

则k的范围是[8，+∞）．