Question

【题目】根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.

Answer 1

【答案】（1）y2＝－12x.（2）y2＝±2x或y2＝±18x.

【解析】试题分析：（1）先将双曲线方程化为标准方程，根据方程可得左顶点，即得抛物线焦点，根据焦点坐标直接写出抛物线标准方程（2）根据焦点位置可设抛物线标准方程形式，设A点坐标，根据抛物线定义以及点在抛物线上列方程组解得p，即得抛物线方程

试题解析：解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为

y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，

由抛物线定义，得5＝AF＝.

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，

故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

点睛; 待定系数法求抛物线的标准方程

(1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．