Question

【题目】如图已知椭圆C： +y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求 的最小值；
（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨丨OS丨为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，得a=2，b=1，c= = ，T（﹣2，0）．

点M与点N关于x轴对称，

设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，∴ =1﹣ ，（*）

=（x1+2，y1）， =（x1+2，﹣y1），

∴ =（x1+2）2﹣

= = ﹣ ，

由于﹣2＜x1＜2，

故当 时， 取得最小值为﹣

（2）证明：设P（x0，y0），

则直线MP的方程为：y﹣y0= （x﹣x0），

令y=0，得xR= ，

同理：xS= ，

故xRxS= ，（**）

又点M与点P在椭圆上，故 ， =4 ，

代入（**）式，得：xRxS= = =4．

∴丨OR丨丨OS丨=|xRxS|=4为定值

【解析】（1）T（﹣2，0）．点M与点N关于x轴对称，设M（x11），N（x1 ， ﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上， =1﹣ ，可得 = ﹣ ，由于﹣2＜x1＜2，可得 取得最小值．（2）设P（x0 ， y0），则直线MP的方程为：y﹣y0= （x﹣x0），令y=0，得xR= ，同理：xS= ，xRxS= ，又点M与点P在椭圆上，故 ， =4 ，代入丨OR丨丨OS丨=|xRxS|，化简即可证明．