Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）设，证明：对任意，.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）当时，求函数的导数即可求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）将不等式进行转化，即可得到结论.

详解：（Ⅰ）当时，，．

∴，

∴曲线在处的切线方程为．

（Ⅱ）∵， f（x）的定义域为（0，+），，

∴f（x）在（0，+）上单调递减．

不妨假设x1≥x2，那么等价于≥4x1－4x2，

即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1．

令g（x）=f（x）+4x，则+4＝．

∵，，∴≤＝≤0．

从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），即f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，

故对任意x1，x2∈（0，+） ，．