Question

【题目】已知函数f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)；

（2）最小值为f(1)＝(1－k)e

【解析】试题分析：（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的单调区间．

（2）当k﹣1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．

试题解析：

解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：

x	(－∞，k－1)	(k－1)	(k－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		－ek－1

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k.

当0<k－1<1，即1<k<2时，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为

f(k－1)＝－ek－1.

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.