Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]

已知函数．

(1)解不等式：；

(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）解法一：写出分段函数的解析式，讨论的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.

解法二：写出分段函数的解析式，绘制函数图象,计算函数与的交点坐标，根据函数图象确定不等式的解.

解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.

（2）将恒成立问题转化成问题，确定后，解关于的一元二次不等式，即可求出实数的取值范围．

解法一：根据三角不等式，确定函数最小值

解法二：根据函数图象，确定函数最小值.

详解：（1）解法一：

当时，，解得：；

当时，，解得：；

当时，，解得：，

所以不等式的解集为；

（1）解法二：

，两个函数的图象如图所示：

由图像可知，两函数图象的交点为

和，

所以不等式即的解集为

（注：如果作出函数的图象，写出的解集，可参照解法2的标准给分）

解法三：如图，

设数轴上与对应的点分别是，那么两点的距离是4，因此区间上的数都是原不等式的解。

先在数轴上找出与点的距离之和为的点，将点向左移动2个单位到点，这时有,

同理，将点向右移动2个单位到点，这时也有,

从数轴上可以看到，点与之间的任何点到点的距离之和都小于8, 点的左边或点的右边的任何点到点的距离之和都大于8，

所以，原不等式的解集是

（2）解法一：，

当时“”成立，

又任意，恒成立，

∴，即，

解得：，

∴的取值范围为.

解法二：

作函数的图象如图：

由图象可知，函数的最小值为4，

（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明）

又任意，恒成立，

∴，

即，

解得：，

∴的取值范围为.