Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣ ﹣ax（a∈R）．
（1）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a= 时，函数f（x）= ﹣ ﹣ x，

∴f′（x）= + ﹣ = = ，

令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，

当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，

当f′（x）＜0时，即0＜x＜ln2，故函数f（x）单调递减，

所以函数f（x）单调增区间为（﹣∞．0）∪（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）

（2）解：∵f′（x）= + ﹣a，

①若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调减函数，

∴f′（x）= + ﹣a≤0，在[﹣1，1]恒成立，

即a≥ +

令g（x）= + ，

则g′（x）= ﹣ = ，

当x∈[﹣1，ln ），g（x）单调递减，x∈（ln ，1]单调递增，

又因为g（1）= ，g（﹣1）= ，

g（1）＜g（﹣1），

故g（x）max=g（﹣1）= ，

故a≥ ，

②若函数f（x）在[﹣1，1]上为单调增函数，

∴f′（x）= + ﹣a＞0，在[﹣1，1]恒成立，

即a＜ +

令h（x）= + ，

则h′（x）= ﹣ = ，

当x∈[﹣1，ln ），g（x）单调递减，x∈（ln ，1]单调递增，

故当x=ln ，h（x）有最小值，最小值为h（x）min=h（ln ）=

故a≤ ，

综上所述实数a的取值范围为（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间；（2）需要分两类，函数f（x）在[﹣1，1]上为单调减函数和函数f（x）在[﹣1，1]上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值，求出范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．