Question

【题目】过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为（ ）

A. B. C. 1 D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值．

由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0），

当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，

则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，

则=；

当直线AB的斜率存在时，

设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣（x﹣1）．

又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立方程组，

消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

∴，

∴|AB|===，

由题知，直线CD的斜率为﹣，

同理可得|CD|=．

∴=为定值．

故选：D．