Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣2x+2x2 ， 讨论函数g（x）的单调性；
（3）若（2）中函数g（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为当a=2时，f（x）=﹣x2+2lnx，

所以f′（x）=﹣2x+ ．

因为f（1）=﹣1，f'（1）=0，

所以切线方程为y=﹣1；

（2）解：g（x）=x2﹣2x+alnx的导数为g′（x）=2x﹣2+ = ，

a≤0，单调递增区间是（ ，+∞）；单调递减区间是（0， ）；

0＜a＜ ，单调递增区间是（0， ），（ ，+∞）；

单调递减区间是（ ， ）；

a≥ ，g（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；

（3）解：由（2）函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

0＜a＜ ，x1+x2=1，0＜x1＜ ， ＜x2＜1

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），h′（x）= +2lnx，

由0＜x＜ ，则 ＜0，

又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）递减，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即m≤﹣ ﹣ln2，

即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）不等式g（x1）≥mx2恒成立即为 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．