Question

【题目】若正项数列{an}满足： =an+1﹣an（a∈N*），则称此数列为“比差等数列”．
（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；
（2）设数列{an}是一个“比差等数列”
（i）求证：a2≥4；
（ii）记数列{an}的前n项和为Sn ， 求证：对于任意n∈N*，都有Sn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：一个“比差等数列”的前3项可以是：2，4，
（2）解：（i）证明：当n=1时， ，

∴ = = = ，

∵an＞0，∴ ，则a1﹣1＞0，即a1＞1，

∴ ≥2 +2=4，

当且仅当 时取等号，

则a2≥4成立；

（ii）由an＞0得，an+1﹣an= ≥0，

∴an+1≥an＞0，则an+1﹣an= ，

由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，an﹣an﹣1≥1，

以上 n﹣1个不等式相加得，an≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），

当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an

≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2

= ﹣2= ，

当n=1时，由（i）知S1=a1＞1≥ ，

综上可得，对于任意n∈N*，都有Sn＞

【解析】（1）根据“比差等数列”的定义，写出一个“比差等数列”的前3项即可；（2）（i）当n=1时可得 ，求出a2利用分离常数法化简，由an＞0可得a1＞1，利用基本不等式证明a2≥4；（ii）由an＞0得an+1﹣an= ≥0，得an+1≥an＞0从而得到an+1﹣an= ，列出n﹣1个不等式并相加得an≥n+2（n≥2），当n≥2时利用放缩法和等差数列的前n项和公式化简后，得到Sn的不等式再验证n=1时是否成立即可．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．