Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x+t，g（x）=x2﹣t（t∈R）
（1）当x∈[2，3]时，求函数f（x）的值域（用t表示）
（2）设集合A={y|y=f（x），x∈[2，3]}，B={y|y=|g（x）|，x∈[2，3]}，是否存在正整数t，使得A∩B=A．若存在，请求出所有可能的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣1）2+t﹣1，x∈[2，3]，

对称轴x=1，f（x）在[2，3]递增，

∴x=2时，f（x）最小，f（2）=t，

x=3时，f（x）最大，f（3）=t+3，

∴f（x）的值域是[t，t+3]；

（2）解：由（1）得：A=[t，t+3]，B即为|g（x）|的值域，

∵A∩B=A，∴AB，

∵g（x）=x2﹣t，x∈[2，3]，

假设存在正整数t符合要求，

①当1≤ ≤2时，即1≤t≤4时，

|g（x）|的值域是B=[4﹣t，9﹣t]，

由4﹣t≤t＜t+3≤9﹣t，

∴2≤t≤3，

∴t=2或3，

②当2＜ ＜3时，即4＜t＜9时：

|g（x）|的值域B=[0，M]，其中M=max{﹣f（2），f（3）}=max{t﹣4，9﹣t}，

显然当4＜t＜9时，t+3＞t﹣4且t+3＞9﹣t，不符舍去，

③当 ≥3即t≥9时，

|g（x）|的值域是B=[t﹣9，t﹣4]，

由t﹣9≤t+3≤t﹣4，解集为空，

综上t=2或3．

【解析】（1）通过配方求出f（x）的值域；（2）求出集合A，通过讨论t的范围，求出集合B，解不等式求出t的值即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．