Question

【题目】如图，在四棱椎中，底面为菱形， 为的中点.

(1)求证： 平面；

(2)若底面， ， ， ，求三棱椎的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：(1) 连接交于点，连接，由底面为菱形，可知点为的中点，根据三角形中位线定理可得 ，由线面平行的判定定理可得平面；(2)根据相似三角形的性质以及勾股定理可求出，点到底面的距离为，求出底面积，利用棱锥的体积公式可求得三棱椎的体积.

试题解析：(1)证明：如图，连接交于点，连接，由底面为菱形，可知点为的中点，

又∵为中点，

∴为的中位线，

∴.

又∵平面， 平面，

∴平面.

(2)解：∵底面，底面为菱形， ，∴，

又易得，

∴，

∵，得，

∴点到底面的距离为，

∴.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.