Question

【题目】如图，已知梯形中， ， ， ，四边形为矩形， ，平面平面．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面平行，一般转化为对应平面法向量与直线垂直，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，根据向量数量积证明垂直，最后根据线面平行判定定理证明，（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间相等或互补

关系求解（3）研究线面角，一般利用空间向量进行列式求解参数，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求解参数.

试题解析：（Ⅰ）证明：取为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则， ， ， ，

∴， ，

设平面的法向量，

∴不妨设，

又，

∴，

∴，

又∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）解：∵， ，

设平面的法向量，

∴不妨设，

∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设 ， ，

∴，

∴，

又∵平面的法向量，

∴，

∴，

∴或．

当时， ，∴；

当时， ，∴．

综上， ．