Question

【题目】己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx+ +1﹣a，

若f（x）在（0，+∞）上单调递增，

则a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），

令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故g（x）min=g（1）=2，

故0＜a≤2；

（2）解：若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，

即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，

①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，

令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），

则m′（x）=lnx+ +1，

由（1）得：m′（x）≥2，

故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，

故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；

②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，

令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），

则n′（x）=lnx+ +1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，

故n′（x）＞n（1）=2，

故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，

故a≥0，而a为正实数，故a＞0．

【解析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+ +1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．