Question

【题目】某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.

（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；

（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）实验开始后，每天的试验费用构成公差为，首项为的等差数列，通过等差数列的求和公式计算出这天所投入的试验费用，然后便可求出的值，再利用等差数列的求和公式求出天内总计的试验费用，然后再求出每天的平均试验费用，利用基本不等式便可求出平均每天耗资最少时试验的天数；（2）先求出实际耗资的连续函数，，讨论和的大小关系即可解得的取值范围为．

试题解析：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为，首项为，

∴试验30天共花费试验费用为，

解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

设试验天，平均每天耗资为元，则

．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，

当且仅当，即时取等号，

综上得，，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）设平均每天实际耗资为元，则

．．．．．．．．．．．8分

当，即时，

，因为，

所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

当，即时，当时，取最小值，

且，

综上得，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分