Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间;

（2）证明当时，关于的不等式恒成立;

（3）若正实数满足，证明.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递减区间为，函数的单增区间为；(2)(3)均见解析.

【解析】

试题分析：(1)求函数的导数，在函数的定义域内解不等式即可求得函数的单调递增区间与单调递减区间；（2）令，则时，关于的不等式恒成立等价于，在区间上，即可;(3) 由，即，令，，在区间上，证即可.

试题解析： （1） ，由，得.

又,所以，所以的单调递减区间为，函数的单增区间为.

（2）令,所以,因为,所以,令,得,所以当,当时，因此函数在是增函数，在是减函数，故函数的最大值为，令，因为，又因为在是减函数，所以当时，，即对于任意正数总有，所以关于的不等式恒成立.

（3）由，即，从而

，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，又，因此成立.