Question

【题目】已知函数（为实数）．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；

（3）已知，求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，先求导数，代入得切线斜率为2，因为，所以根据点斜式可得切线方程（2）不存在极值，即函数导数不变号，先求函数导数，因此或，存在性问题，转化为对应函数最值：即由存在满足，得，结合二次函数最值求法，即对称轴与对应区间位置关系分类讨论：①当或，；②当，；③当，，再分别求解对应不等式，得的取值范围；（3）利用导数证明不等式，关键在于构造恰当的函数：，可利用导数得，因此有不等式，令，则，最后根据叠加法可证不等式

试题解析：（1）当时，，，

则，，

∴函数的图象在点处的切线方程为：，即．

（2），由，解得，

由于函数在区间上不存在极值，所以或，

由于存在满足，所以，

对于函数，对称轴，

①当或，即或时，，

由，即，结合或可得：或；

②当，即时，，

由，即，结合可知：不存在；

③当，即时，；

由，即，结合可知：，

综上可知，的取值范围是．

（3）证明：当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

∴在处取得最大值，

即，∴，

令，则，即，

∴ ，

故．