Question

【题目】已知数列{an}、{bn}满足：a1= ，an+bn=1，bn+1= ．
（1）求a2 ， a3；
（2）证数列{ }为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 ， 求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ， ，

， ， ．

∴

（2）证明：由 ，

∴ = ，

∴ ，即an﹣an+1=anan+1，

∴ =1

∴数列{ }是以4为首项，1为公差的等差数列．

∴ ，则 ，

∴

（3）解：由 ，

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=

=

= ．

∴ ，

要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，

设f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8

当λ=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，

当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，

当λ＜l时，对称轴n=

f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．

只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0

∴ ，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．

综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立

【解析】（1）由给出的 ，循环代入an+bn=1和 可求解a2 ， a3；（2）由an+bn=1得an+1+bn+1=1，结合 ，去掉bn与bn+1得到an+1与an的关系式，整理变形后可证得数列{ }是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{an}和{ bn}的通项公式；（3）首先利用裂项求和求出Sn ， 代入4λSn＜bn ， 通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λSn＜bn恒成立的实数λ的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；通项公式：．