Question

【题目】已知数列{an}满足：a1= ，a2= ，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn ．
（1）求证：数列{bn﹣an}为等比数列；
（2）求证：数列{bn}为递增数列；
（3）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），

∴{an}是等差数列．

又∵a1= ，a2= ，

∴ ，

∵ ，（n≥2，n∈N*），

∴bn+1﹣an+1=

= =

= ．

又∵ ，

∴{bn﹣an}是以 为首项，以 为公比的等比数列．

（2）证明：∵bn﹣an=（b1﹣ ）（ ）n﹣1， ．

∴ ．

当n≥2时，bn﹣bn﹣1= ．

又b1＜0，∴bn﹣bn﹣1＞0．

∴{bn}是单调递增数列．

（3）解：∵当且仅当n=3时，Sn取最小值．

∴ ，即 ，

∴b1∈（﹣47，﹣11）

【解析】（1）由已知得{an}是等差数列， ，bn+1﹣an+1= = ．由此能证明{bn﹣an}是以 为首项，以 为公比的等比数列．（2）由 ．得当n≥2时，bn﹣bn﹣1= ．由此能证明{bn}是单调递增数列．（3）由已知得 ，由此能求出b1的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．