Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ， a4 ， a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 + +…+ =an﹣1（n∈N*），求数列{nbn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得，

解得 ，

∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1

（2）解：由（1）得， ，

当n≥2时， ，

两式相减得， ，则bn=23n（n≥2）

当n=1时满足上式，

所以bn=23n（n∈N*），∴nbn=2n3n（n∈N*），

Tn=231+432+633+…+2n3n，

∴3Tn=232+433+634+…+2n3n+1，

两式相减得，﹣2Tn=231+232+233+…+23n﹣2n3n+1

=2（31+32+33+…+3n）﹣2n3n+1

= ﹣2n3n+1=（1﹣2n）3n+1﹣3

∴Tn= ．

【解析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质列出方程组，求出a1、d的值，代入等差数列的通项公式即可求出an；（2）由（1）化简已知的式子，令n取n﹣1代入化简得到另外一个式子，两个式子相减后求出bn ， 代入nbn化简，利用错位相减法和等比数列前n项和公式求出Tn ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．