Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+3．
（1）若a=2，求f（x）在[﹣1，2]上的最值；
（2）若f（x）在（﹣ ，1）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=x3+2x2﹣4x+3，

∴f′（x）=3x2+4x﹣4，

令f′（x）=0，得 x=﹣2 或 x= ．

∵﹣2[﹣1，2]，

∴f（x）在[﹣1，2]上的最值只可能在f（﹣1），f（ ），f（2）取得，

而f（﹣1）=8，f（ ）= ，f（2）=11，

∴f（x）max=f（2）=11，f（x）min=f（ ）= ．

（2）解：f′（x）=（3x﹣a）（x+a），

①当a＞0时，由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜ ，

所以f（x）在（﹣a， ）上单调递减，

则必有 ，∴a≥3，

②当a＜0时，由f′（x）＜0，得 ＜x＜﹣a，

所以f（x）在（ ，﹣a）上单调递减，

必有 ，∴a≤﹣ ，

③当a=0时，函数f（x）在R上是单调递增函数，不满足f（x）在（﹣ ，1）上是减函数，

∴综上，所求 a 的取值范围为（﹣∞， ]∪[3，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，解关于函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．