Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）试讨论函数的零点个数；

（Ⅱ）证明：当且时，总有

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调性：先增后减再增，结合图像可知零点个数按两极值正负分情况进行讨论，（2）先研究差函数，根据导数可得，导函数的导数，因此，从而,得证.

试题解析：解：（Ⅰ） 零点个数即为方程的根的个数.

记，则，令得或.

当变化时， 的变化情况如下表：

	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

故可画出的草图如图所示：

由图象知：当或时，函数有一个零点；

当或时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点.

（Ⅱ），设函数，

则，

记，则，

当变化时， 的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由上表可知，而，

由知， .

所以，所以，即，所以在区间上为增函数，

所以当时， .

即当且时， .