Question

【题目】若函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1、x2 ， 当x1≠x2时，恒有 ＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列三个函数中：（1）f（x）= ；（2）f（x）=x+1；（3）f（x）= ，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．

Answer 1

【答案】（3）
【解析】解：∵函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；
②对于定义域上的任意x1 ， x2 ， 当x1≠x2时，恒有 ＜0，则称函数f（x）为“理想函数”，
∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在（1）中，f（x）= 是奇函数，但不是减函数，故（1）不是“理想函数”；
在（2）中，f（x）=x+1在（﹣∞，+∞）内是增函数，故（2）不是“理想函数”；
在（3）中，f（x）= ，是奇函数，且是减函数，故（3）能被称为“理想函数”．
故答案为：（3）．
由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给三个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．