Question

【题目】如图，是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在上的一点的正北方向的处建设一仓库，设，并在公路北侧建造边长为的正方形无顶中转站（其中在上），现从仓库向和中转站分别修两条道路，已知，且．

（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；

（2）如果中转站四堵围墙造价为10万元，两条道路造价为30万元，问：取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价最低．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函数的解析式，然后求解定义域．（2）求出M=30（2y-1）+40x，通过基本不等式求解表达式的最值即可．

（1）在△BCF中，CF＝x，∠FBC＝30°，CF⊥BF，所以BC＝2x．

在△ABC中，AB＝y，AC＝y﹣1，∠ABC＝60°，

由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC，

即 （y﹣1）2＝y2+（2x）2﹣2y2xcos60°，

所以 ．

由AB﹣AC＜BC，得．又因为＞0，所以x＞1．

所以函数的定义域是（1，+∞）．

（2）M＝30（2y﹣1）+40x．

因为．（x＞1），所以M＝30

即 M＝10．

令t＝x﹣1，则t＞0．于是M（t）＝10（16t+），t＞0，由基本不等式得M（t）≥10（2）＝490，

当且仅当t＝，即x＝时取等号．

答：当x＝km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．