Question

【题目】若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，

∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1

∵f（x+1）﹣f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，

∴

∴f（x）=x2﹣x+1

（2）解：由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，

即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立

其对称轴为 ，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，

∴g（x）min=g（1）=1﹣3+1﹣m＞0，

∴m＜﹣1．

【解析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．