Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.

【解析】试题分析; （I）由题意抛物线 的焦点为抛物线 的顶点（ ，由此算出 从而得到抛物线 的方程，得到 的准线方程；
（II）设则可得切线， 的方程，进而可得

所以直线的方程为.

联立由韦达定理得，可求得．

进而求得点到直线的距离． 则的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.．

试题解析：（Ⅰ） 的方程为 其准线方程为．

（Ⅱ）设， ， ，

则切线的方程： ，即，又，

所以，同理切线的方程为，

又和都过点，所以，

所以直线的方程为.

联立得，所以。

所以．

点到直线的距离．

所以的面积

所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.