Question

【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.

【解析】试题分析：（1）设v（x）=ax+b.利用x的范围，列出方程组求解a，b，即可得到函数的解析式；（2）求出车流量f（x）=v（x）x的表达式，然后求解最大值即可

试题解析：（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）＝60；

当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，

再由已知得解得故函数v（x）的表达式为

（2）依题意并由（1）可得

f（x）＝

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

当20≤x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤ []2＝，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立.

所以，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值.

综上，当x＝100时，f（x）在区间上取得最大值≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时.