Question

【题目】己知函数 (其中e为自然对数的底数)， ．

(I)求函数的单调区间；

(II)设，.已知直线是曲线的切线，且函数上是增函数．

(i)求实数的值；

(ii)求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）（1）；（2）.

【解析】试题分析：(I)求导得，讨论和即可；

(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先构造来讨论和的大小，得，求导，得. 由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知： 在， 上恒成立，分两段讨论即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵，

∴，

①当时，

在时， ，在时， ，

故在上是减函数，在上是增函数；

②当时，

在时， ，在时， ，

故在上是增函数，在上是减函数；

（Ⅱ）（1）对求导，得，

设直线与曲线切于点，则

解得，∴；

（2）记函数 ， ，

求导，得，

当时， 恒成立，

当时， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上单调递减．

又， ，

曲线在[1，2]上连续不间断，

∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的∈（1，2），使．

∴当时， ＞0，当时， ＜0．

∴当时， =

求导，得

由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：

在， 上恒成立．

①当时， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

记， ，则， ，

当 变化时， ， 变化情况列表如下：

		3
		0
		极小值

∴min= 极小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②当时， ，

当时， 在上恒成立，

综合①②知，当时，函数在上是增函数．

故实数的取值范围是．