Question

【题目】如图，菱与四边形相交于， 平面， 为的中点， .

(I)求证： 平面；

(II)求直线与平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）.

【解析】试题分析：(I) 取的中点，连接，要证平面，只需证平面平面，又， 可得；

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量求解即可.

试题解析：

证明：（Ⅰ）取的中点，连接.

因为为菱形对角线的交点，所以为中点，又为中点，所以，

又因为分别为的中点，

所以，又因为，所以，

又，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅱ）连接，设菱形的边长，则由，得，

又因为，所以，

则在直角三角形中， ，所以，且由平面， ，得平面.

以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则

则，设为平面的一个法向量，则即令，得，所以，

又，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.