Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,设点,且=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴,若直线MN和直线QP交于点S(4,0)．判断四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为 (1,0)

【解析】(1)由=2可得,所以,解得,

所以椭圆C的方程为.(4分)

(2)设MP与x轴交于,则直线MP的方程为．

设,由对称性知,

由,消去x得,(6分)

所以,,,(8分)

由M、N、S三点共线知,即,

所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0,整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0,

所以,

即24m(t－1)＝0,得t＝1,(10分)

所以直线MP过定点D(1,0),同理可得直线NQ也过定点D(1,0),

即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0)．(12分)