Question

【题目】已知奇函数f（x）= 的定义域为[﹣a﹣2，b]
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；
（3）若实数m满足f（m﹣1）＜f（1﹣2m），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）∵f（x）是奇函数，故f（0）=0，

即a﹣1=0，解得：a=1，故﹣a﹣2=﹣3，

定义域为[﹣a﹣2，b]，关于原点对称，

故b=3

（2）函数f（x）在[﹣3，3]递增，

证明如下：设x1，x2是[﹣3，3]上的任意2个值，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵﹣3≤x1＜x2≤3，∴ ﹣ ＜0，又 +1＞0， +1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在[﹣3，3]递增

（3）由（1）得f（x）在[﹣3，3]递增，

∴f（m﹣1）＜f（1﹣2m）等价于：

，解得：﹣1≤m＜ ，

故不等式的解集是[﹣1， ）

【解析】（1）根据函数的奇偶性求出a，b的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性以及函数的定义域得到关于m的不等式组，解出即可．
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．