Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O相交得到的弦长为．设点，连接PA交椭圆于点C．

(I)求椭圆E的方程；

(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求t的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析:(1) 由题意,则圆的方程为,又，直线的方程为，直线与圆相交得到的弦长为，则进而可得椭圆的方程.(2) 设直线的方程为，联立直线PA和椭圆方程,可得点的坐标是，故直线的斜率为， ，所以.将线段BC,OP的长度用t来表示,则 ， ，所以，整理得，又， ，所以.

试题解析:（Ⅰ）因为以为直径的圆过点,所以,则圆的方程为,

又,所以，直线的方程为，直线与圆相交得到的

弦长为，则所以，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，

由

整理得，

解得： ， ，则点的坐标是，

故直线的斜率为，由于直线的斜率为，

所以 ，所以.

， ，

所以，

，所以，

整理得，又， ，所以.