Question

【题目】对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
1）f（x）在[m，n]上是单调的；
2）当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）= ﹣ （a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】0＜a＜1
【解析】解：由题意可得函数 在区间[m，n]是单调递增的，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程f（x）=x的两个同号的不等实数根，
即 ，
即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，
∵mn= ，
故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得 ＜a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1．
所以答案是：0＜a＜1．
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数单调性的判断方法，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较即可以解答此题．